15 febrero 2010

Las CONICAS. El cono de Apolonio



Apolonio de Perga está considerado uno de los padres de las matemáticas junto con Pitágoras, Tales de Mileto o Euclides. Sus trabajos en geometría se centraron en el estudio de las características de las cónicas, recogidas posteriormente en un libro que llevaba un nombre realmente curioso: Cónicas.
Las secciones cónicas se conocían ya desde hacía más o menos un siglo y medio cuando Apolonio compuso su famosos tratado sobre estas curvas, y durante este intervalo por lo menos dos veces se escribieron tratados generales sobre el tema, debidos a Aristeo y a Euclides, pero de la misma manera que los Elementos de Euclides habían eclipsado a todos los textos elementales anteriores, así también en el nivel más avanzado de la teoría de las secciones cónicas, las Cónicas de Apolonio desplazaron a todos sus rivales en este campo, incluyendo las Cónicas de Euclides, y al parecer no se hizo ningún otro intento de mejorarlas en la antigüedad. Si la supervivencia es en algún sentido una medida de la calidad, entonces los Elementos de Euclides y las Cónicas de Apolonio fueron sin duda las mejores obras en su género en la matemática antigua
Anteriormente a Apolonio la elipse, la parábola y la hipérbola se obtienen como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. Parece ser que Apolonio demostró por primera y de una manera sistemática que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono; éste era un paso muy importante en el proceso de unificar los tres tipos de curvas en cuestión. Otra generalización importante se llevó a cabo cuando Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto, es decir, tal que su eje sea perpendicular al plano de se base circular, sino que puede igualmente tomarse de entrada un cono circular oblicuo o escaleno

Las cónicas se definen como las curvas que se generan al cortar con un plano diferentes puntos de un cono. Así pues surge la idea (y el útil) del cono de Apolonio que ponia de manifiesto la existencia de estas curvas y permitía su estudio de manera sencilla y categórica.



Así pues tenemos que las cónicas son:
- un círculo: corte con un plano paralelo a la base del cono
- una elipse: corte oblícuo con respecto a la base
- una parábola: corte paralelo a una generatriz del cono que atraviesa su base
- una hipérbola: corte más o menos paralelo a la altura del cono enfrentado a su imagen unido por el vértice.
La importancia del estudio de las cónicas se reveló casi 2000 años después cuando Kepler o Newton descubrieron su papel fundamental en la mecánica celeste